Question

生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩種產(chǎn)品各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：

測試指標	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
產(chǎn)品A	8	12	40	32	8
產(chǎn)品B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）試分別估計產(chǎn)品A、產(chǎn)品B為正品的概率；
（Ⅱ）生產(chǎn)一產(chǎn)品件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（Ⅰ）的前提下：
①求生產(chǎn)5件產(chǎn)品B所獲得的利潤不少于300元的概率；
②求生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤為30元或90元的概率．

Answer 1

考點：相互獨立事件的概率乘法公式,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）依題意，用每一種產(chǎn)品的正品數(shù)除以100，即得該種產(chǎn)品的正品的概率．
（Ⅱ）（1）設(shè)生產(chǎn)5件產(chǎn)品B中有x件正品，次品為（5-x）件，根據(jù)100x-20×（5-x）≥300其中0≤x≤5． 求得x的取值范圍，利用n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率公式求得所求事件的概率．
（2）生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤有可能是-30、30、90、150，“所得的總利潤為30”表示產(chǎn)品A為正品且產(chǎn)品B為次品，“所得的總利潤為90”表示產(chǎn)品A為次品且產(chǎn)品B為正品，由此求得所求事件的概率．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，產(chǎn)品A為正品的概率為

80

100

=

4

5

；產(chǎn)品B為正品的概率為

75

100

=

3

4

．
（Ⅱ）（1）設(shè)生產(chǎn)5件產(chǎn)品B中有x件正品，次品為（5-x）件，
依題意有100x-20×（5-x）≥300其中0≤x≤5．   
解得x≥

10

3

即x可能取到4或5
設(shè)M=“生產(chǎn)5件產(chǎn)品B所獲得的利潤不少于300元”，則P(M)=

C

4 5

(

3

4

)4(1-

3

4

)1+

C

5 5

(

3

4

)5=

81

128

．
（2）生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤有可能是-30、30、90、150
“所得的總利潤為30”表示產(chǎn)品A為正品且產(chǎn)品B為次品，
“所得的總利潤為90”表示產(chǎn)品A為次品且產(chǎn)品B為正品，
設(shè)N=“生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤為30元或90元”，
則P(N)=

4

5

×

1

4

+

1

5

×

3

4

=

7

20

．

點評：本題主要考查古典概率及其計算公式的應用，n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．