Question

公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，已知a₁=2．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)c₁=1，且c_n+1=c_n+3

1

2

an時(shí)，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）利用a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，列出關(guān)于公差的方程，求出公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）將a_n的值代入數(shù)列{c_n}的遞推關(guān)系，據(jù)遞推關(guān)系的特點(diǎn)，利用逐差求和的方法，求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（I）{a_n}是等差數(shù)列，則a_n=a₁+（n-1）d
由題知：a₅²=a₂•a₁₄
∴（2+4d）²=（2+d）（2+13d）解之：d=0或d=4
∴a_n=4n-2
（II）由（1）題cn+1=cn+3

1

2

an得：c_n+1-c_n=3^2n-1
∴c₂-c₁=3，c₃-c₂=3³，c_n-c_n-=3^2n-3
故c_n=1+3¹+3³+…+3^2n-3=1+

3(1-9n-1)

1-9

=

32n-1+5

8

∴cn=

32n-1+5

8

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的通項(xiàng)的方法關(guān)鍵是根據(jù)已知的遞推關(guān)系的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．若遞推關(guān)系是a_n+1-a_n=f（n），采用逐差求和的方法．