Question

已知m＞0，m≠

17 -1

2

，直線l₁：y=m與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，直線l₂：y=

4

m+1

與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C，D，記線段AC和BD在x軸上的投影程長度分別為a，b，當(dāng)m變化時(shí)，

b

a

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，依題意可求得為x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，下面利用基本不等式可求最小值

解答： 解：設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

4

m+1

，log₂x_D=

4

m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

4

m+1

，x_D=2

4

m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

2m-2 4 m+1

2-m-2- 4 m+1

=2m+

4

m+1

又m＞0，∴m+

4

m+1

=m+1+

4

m+1

-1≥2

(m+1)• 4 m+1

-1=4-1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取“=”號(hào)，
∴

b

a

≥2³=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解投影的概念并能把問題轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．