Question

點P（x，y）是區(qū)域|x|+|y|≤1的動點，求ax+y的最大值．

Answer 1

分析：作出題中不等式表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的正方形平面區(qū)域．再分-1≤a≤1、a＜-1與a＞1三種情況討論，平移直線y=-ax+t并觀察縱截距t的變化，可得各種情況下的目標函數(shù)的最大值．最后加以綜合，可得答案．

解答：解：作出|x|+|y|≤1表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的正方形平面區(qū)域，
設(shè)t=ax+y，則直線y=-ax+t是斜率為-a的一族平行直線，討論如下：

（1）當-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，直線過A（0，1）時，縱截距t最大，可得t_max=1；（如圖1）
（2）當-a＞1，即a＜-1時，直線過D（-1，0）時，縱截距t最大，t_max=-a；（如圖2）
（3）當-a＜-1，即a＞1時，直線過B（1，0）時，縱截距t最大，t_max=a，（如圖3）
綜上可知，ax+y的最大值為tmax=

1(-1≤a≤1) -a(a＜-1) a(a＞1)

．

點評：本題給出不等式|x|+|y|≤1，求目標函數(shù)ax+y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．