Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，求二面角D﹣AE﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，

∵ABCD為矩形，∴O為BD的中點(diǎn)，

又E為的PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB，

EO平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC

（2）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，

∴AB，AD，AP兩兩垂直，

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

∵AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，

∴三棱錐P﹣ABD的體積 ，得 ．

則A（0，0，0），D（0， ，0），B（ ，0，0），E（0， ， ），C （ ， ，0），

則 =（0， ， ）， =（ ， ，0）

設(shè) 為平面ACE的法向量，

則 ，即 ，令x=1，得 ， ，則 =（1， ， ），

又 為平面DAE的法向量，

∴cos＜ ＞= ，

如圖可得二面角D﹣AE﹣C為銳角，∴二面角D﹣AE﹣C為 ．

【解析】（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，由已知可得EO∥PB，然后利用線面平行的判定可得PB∥平面AEC；（2）由PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，可得AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，再由三棱錐P﹣ABD的體積V= 求得AB，得到A，D，B，E，C的坐標(biāo)，然后求出平面ACE與平面DAE的法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角D﹣AE﹣C的大小．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．