Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，頂點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在A(yíng)M上，點(diǎn)N在CM上，且滿(mǎn)足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)E于兩點(diǎn)H、Q，求|HQ|．

Answer 1

分析：（1）利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)推出 NC+NM=r=2

2

＞AC，再利用橢圓的定義知，點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程．
（2）點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)l方程，代入曲線(xiàn)E的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求出|HQ|．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），∵

AM

=2

AP

，∴點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是線(xiàn)段AM的垂直平分線(xiàn)，∴NM=NA，
又點(diǎn)N在CM上，設(shè)圓的半徑是 r，則 r=2

2

，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2

2

＞AC，∴點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，
∵2a=2

2

，c=1，∴b=1，∴橢圓 

x2

2

+y²=1，即曲線(xiàn)E的方程：

x2

2

+y²=1．
（2）∵過(guò)點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)E于兩點(diǎn)H、Q，∴直線(xiàn)l方程為 y-0=x-1，
代入曲線(xiàn)E的方程得：3x²-4x=0，∴x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=0，
由弦長(zhǎng)公式得：|HQ|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法求軌跡方程，及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，屬于中檔題．