Question

已知雙曲線C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，雙曲線C的右焦點(diǎn)為F坐標(biāo)為（2，0），且雙曲線過點(diǎn)C（

2

，

3

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為A，在第一象限內(nèi)任取雙曲線上一點(diǎn)P，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線C的右焦點(diǎn)為F坐標(biāo)為（2，0），且雙曲線過點(diǎn)C（

2

，

3

），建立方程組，求出幾何量，即可得出雙曲線的方程；
（2）先由PF⊥x軸時(shí)，求出λ的值，再證明當(dāng)PF與x軸不垂直時(shí)∠PFA=2∠PAF成立．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵雙曲線C的右焦點(diǎn)為F坐標(biāo)為（2，0），且雙曲線過點(diǎn)C（

2

，

3

），
∴

a2+b2=4 2 a2 - 3 b2 =1

，∴a=1，b=

3

，
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1；
（2）當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此時(shí)λ=2．
以下證明當(dāng)PF與x軸不垂直時(shí)∠PFA=2∠PAF成立．
設(shè)P（x₀，y₀），則k_PA=tan∠PAF=

y0

x0+1

，k_PF=-tan∠PFA=

y0

x0-2

．
tan2∠PAF=

2• y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

．
由x02-

y02

3

=1得y₀²=3（x₀²-1）代入上式，得tan2∠PAF=tan∠PFA恒成立．
∵∠PFA∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

），∠PAF∈（0，

π

4

）∪（

π

4

，

π

3

），
∴∠PFA=2∠PAF恒成立．
綜上，常數(shù)λ為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查存在性問題的探求，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．