Question

已知

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=k（0＜α＜

π

2

）．試用k表示sinα-cosα的值．

Answer 1

分析：利用倍角公式及切化弦可把原式化為2sinαcosα=k．分0＜α＜

π

4

，

π

4

≤α＜

π

2

兩種情況通過(guò)求（sinα-cosα）²可得答案．

解答：解：

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα=k．
當(dāng)0＜α＜

π

4

時(shí)，sinα＜cosα，
此時(shí)sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=-

(sinα-cosα)2

=-

1-2sinαcosα

=-

1-k

．
當(dāng)

π

4

≤α＜

π

2

時(shí)，sinα≥cosα，
此時(shí)sinα-cosα≥0，
∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1-k

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值、同角三角函數(shù)間的關(guān)系，屬中檔題．