. (本小題滿(mǎn)分12分)
已知定義在R上的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且x=1時(shí),f(x)取極小值.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),圖像上是否存在兩點(diǎn),使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直?證明你的結(jié)論.
解:(Ⅰ) 因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
所以對(duì)任意恒成立,
即對(duì)任意恒成立,
所以恒成立,故,…………………3分
故,
又時(shí),取極小值,所以,且,
所以………………①
……………………②
解得:,;
所以,()…………………………………………………6分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),圖像上不存在兩點(diǎn)使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.
證明如下:(方法1,用反證法)
假設(shè)在的圖像上存在兩點(diǎn),,使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直,由(Ⅰ) 可知,且在兩點(diǎn)處的切線斜率均存在.
由假設(shè)則有,…………………………8分
從而,
另一方面,,所以,所以,
與前式顯然矛盾.所以,
當(dāng)時(shí),圖像上不存在兩點(diǎn)使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.………………12分
(方法2)
設(shè),為的圖像上兩點(diǎn),由(Ⅰ) 可知,
且在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線的斜率均存在.
不妨設(shè)在點(diǎn)處的切線斜率為,在點(diǎn)處的切線斜率為,
則 ,;………………8分
所以 ,
由題意,,
所以,即
綜上所述,當(dāng)時(shí),圖像上不存在兩點(diǎn)使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直. ……12分
略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題滿(mǎn)分12分)已知關(guān)于的一元二次函數(shù) (Ⅰ)設(shè)集合P={1,2, 3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和,求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)(,)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求函數(shù)上是增函數(shù)的概率。
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(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),且。①求的最大值及最小值;②求的在定義域上的單調(diào)區(qū)間.
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(本小題滿(mǎn)分12分) 一幾何體的三視圖如圖所示,,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在線段上且=.
(I)證明:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
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