設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點M，N關(guān)于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．
分析：（1）由題意可得
1
a2
+
9
4b2
=1
2a=4
，解得即可；
（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)和點在橢圓上即可得出；
（3）利用“點M，N關(guān)于原點對稱”和斜率計算公式即可得出．
解答：解：（1）由題意可得
1
a2
+
9
4b2
=1
2a=4
，解得a=2，b2=3．
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），
則|PM|=|PN|，∴(x1-x0)2+
y
2
1
=(x2-y2)2+
y
2
2
．（*）
又M，N在橢圓上，∴
y
2
1
=3-
3
4
x
2
1
，
y
2
2
=3-
3
4
x
2
2
；
代入（*）得x0=
x1+x2
8
＜
2+2
8
=
1
2
，則有|
OP
|＜
1
2
．
（3）“點M，N關(guān)于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的充要條件．
證明：設(shè)M（x1，y1），Q（x0，y0），則N（-x1，-y1）．
于是
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1，得到
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=-
3
4
．
∴kQM•kQN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=-
3
4
?點M，N關(guān)于原點對稱．
點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、充要條件等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦點．
（1）當(dāng)P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8時，求橢圓C的左，右焦點F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q的作⊙F2切線QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓上一點P(1，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)F1、F2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左、右焦點．
（I）當(dāng)p∈C，且
pF1
•
pF
2=0，|
pF1
|•|
pF
2|=4時，求橢圓C的左、右焦點F1、F2的坐標(biāo)．
（II）F1、F2是（I）中的橢圓的左、右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q作的切線QM（M為切點），使得|QF1|=
2
|QM|，求動點Q的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點，若橢圓C上存在點P，使線段PF1的垂直平分線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設(shè)橢圓C上的點(
2
2
，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
，寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（1）中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積；
（3）設(shè)點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPN，kPN試探究kPN•kPN的值是否與點P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

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同步練習(xí)冊答案