Question

12．在正三棱錐P-ABC中，M是PC的中點(diǎn)，且AM⊥PB，AB=2$\sqrt{2}$，則正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 根據(jù)三棱錐為正三棱錐，可證明出AC⊥PB，結(jié)合PB⊥AM，得到PB⊥平面PAC，因此可得PA、PB、PC三條側(cè)棱兩兩互相垂直．最后利用公式求出外接圓的直徑，結(jié)合球的表面積公式，可得正三棱錐P-ABC的外接球的表面積．

解答 解：取AC中點(diǎn)N，連接BN、PN
∵N為AC中點(diǎn)，PA=PC
∴AC⊥PN，同理AC⊥BN，
∵PN∩BN=N
∴AC⊥平面PBN
∵PB?平面PBN
∴AC⊥PB
∵PB⊥AM且AC∩AM=A
∴PB⊥平面PAC⇒PB⊥PA且PB⊥AC
∵三棱錐P-ABC是正三棱錐
∴PA、PB、PC三條側(cè)棱兩兩互相垂直．
∵底面邊長AB=2$\sqrt{2}$，
∴側(cè)棱PA=2，
∴正三棱錐P-ABC的外接球的直徑為：2R=2$\sqrt{3}$
外接球的半徑為R=$\sqrt{3}$
∴正三棱錐P-ABC的外接球的表面積是S=4πR²=12π
故答案為：12π．

點(diǎn)評 本題以正三棱錐中的垂直關(guān)系為例，考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，以及球內(nèi)接多面體等知識點(diǎn)，屬于中檔題．