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已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.

（1）求拋物線E的方程；

（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

 

【答案】

（1）；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的數量積等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去參數，得到關于的方程，得到兩根之和兩根之積，設出點的坐標，代入到中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得出的值，從而得到拋物線的標準方程；第二問，先利用點的坐標得出直線的斜率，再根據拋物線方程轉化參數，得到和的關系式，代入到所求證的式子中，將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得出常數即可.

試題解析：（Ⅰ）將代入，得．     2分

其中

設，，則

，．           4分

．

由已知，，．

所以拋物線的方程．           6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

，同理，     10分

所以．     12分

考點：1.拋物線的標準方程；2.韋達定理；3.向量的數量積；4.直線的斜率公式.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線D的頂點是橢圓Q：
x2
4
+
y2
3
=1的中心O，焦點與橢圓Q的右焦點重合，點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是拋物線D上的兩個動點，且|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|（Ⅰ）求拋物線D的方程及y1y2的值；
（Ⅱ）求線段AB中點軌跡E的方程；
（Ⅲ）求直線y=
1
2
x與曲線E的最近距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e=
3
2
．
（1）經過A、B兩點分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交于點M．證明：
MF
•
MA
=
MF
•
MB
；
（2）橢圓E上是否存在一點M'，經過點M'作拋物線C的兩條切線M'A'，M'B'（A'，B'為切點），使得直線A'B'過點F？若存在，求出拋物線C與切線M'A'，M'B'所圍成圖形的面積；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，直線l過拋物線的焦點F且與該拋物線交于A、B兩點（點A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直線l的方程；
（2）過點A的拋物線的切線與直線x=-1交于點E，求證：EF⊥AB．

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年河北唐山市高三年級第一學期期末考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.

（1）求拋物線E的方程；

（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

 

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