Question

已知A（1，0），B（-2，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若直線l：，且軌跡E上存在不同兩點(diǎn)C、D關(guān)于直線l對(duì)稱．
①求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
②是否可能有A、B、C、D四點(diǎn)共圓？若可能，求實(shí)數(shù)b的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如何體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件∠MBA=2∠MAB是解決本題的關(guān)鍵．用動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)體現(xiàn)∠MBA=2∠MAB的最佳載體是直線MA、MB的斜率．
（2）先設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)（x，y）（x₁，x₂，x＜-1）．由點(diǎn)差法有y=-x．又；所以，．又直線CD的方程為．將直線的方程代入（1）的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用到角公式即可求得b值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得，
化簡(jiǎn)得3x²-y²=3（當(dāng)時(shí)也滿足）．
顯然，動(dòng)點(diǎn)M在線段AB的中垂線的左側(cè)，且∠MAB≠0，
故軌跡E的方程為 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)（x，y）（x₁，x₂，x＜-1）．
由點(diǎn)差法有 ，即y=-x．
又；所以，．
①由3及得，．
②直線CD的方程為，即．
上式代入3x²-y²=3得，8x²+12bx+3b²+4=0，
所以△=16（3b²-8），，，．
若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則∠CAD=60°，由到角公式可得 
即 ，即 ；解得．
故可能有A、B、C、D四點(diǎn)共圓，此時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題主要用直接法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．