Question

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

AB

•

BD

=0，且2

AB2

+

BD2

=1，沿BD折在直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的體積是（　　）

• A、

  π

  27

• B、

  π

  12

• C、

  π

  8

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：由已知中在平行四邊形ABCD中，

AB

•

BD

=0，且2

AB2

+

BD2

=1，沿BD折在直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球即為以AB，BD，DC為同一頂點(diǎn)三條棱的長(zhǎng)方體的外接球，由此計(jì)算出外接球的半徑，代入球的體積公式，即可得到答案．

解答：解：∵平行四邊形ABCD中，

AB

•

BD

=0，且2

AB2

+

BD2

=1，
即AB⊥BD，BD⊥AC，AB²+BD²+DC²=1
則三棱錐A-BCD的外接球的直徑2R=1
則R=

1

2

則V=

4

3

πR3=

π

6

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，平面向量數(shù)量積的表示線段垂直，球的體積公式，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出三棱錐A-BCD的外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．