Question

9．如圖1，正方形ABCD的邊長為$2\sqrt{2}$，E、F分別是DC和BC的中點，H是正方形的對角線AC與EF的交點，N是正方形兩對角線的交點，現(xiàn)沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得PH⊥AH，連結(jié)PA，PB，PD（如圖2）．
（Ⅰ）求證：BD⊥AP；
（Ⅱ）求三棱錐A-BDP的高．

Answer 1

分析 （1）由PH⊥AH，PH⊥EF可得PH⊥平面ABCD，故PH⊥BD，又AC⊥BD，得出BD⊥平面PAH，得出BD$⊥AP\$；
（2）分別把△ABD和△BDP當(dāng)做底面求出棱錐的體積，列出方程解出．

解答 （Ⅰ）證明：∵E、F分別是CD和BC的中點，∴EF∥BD．
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，故折起后有PH⊥EF．
又∵PH⊥AH，∴PH⊥平面ABFED．                          
又∵BD?平面ABFED，∴PH⊥BD，
∵AH∩PH=H，AH，PH?平面APH，
∴BD⊥平面APH，又∵AP?平面APH，∴BD⊥AP
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD的邊長為$2\sqrt{2}$，
∴AC=BD=4，AN=2，NH=PH=1，PE=PF
∴△PBD是等腰三角形，連結(jié)PN，則PN⊥BD，$PN=\sqrt{N{H^2}+P{H^2}}=\sqrt{2}$
∴△PBD的面積${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}BD•PN=\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
設(shè)三棱錐A-BDP的高為h，則三棱錐A-BDP的體積為${V_{A-BDP}}=\frac{1}{3}{S_{△PBD}}•h=\frac{{2\sqrt{2}h}}{3}$
由（Ⅰ）可知PH是三棱錐P-ABD的高，∴三棱錐P-ABD的體積：${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB•AD•PH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×1=\frac{4}{3}$
∵V_A-BDP=V_P-ABD，即$\frac{{2\sqrt{2}h}}{3}=\frac{4}{3}$，解得$h=\sqrt{2}$，即三棱錐A-BDP的高為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，選擇恰當(dāng)?shù)牡酌婧透呤怯嬎泱w積的關(guān)鍵．