Question

如圖，在直三棱柱ABC ?A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M為A1B與AB1的交點，N為棱B1C1的中點，

(1)求證：MN∥平面AA1C1C；

(2)若AC＝AA1，求證：MN⊥平面A1BC.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)連接AC1，因為M為A1B與AB1的交點，所以M是AB1的中點，又N為棱B1C1的中點．所以MN∥AC1，

又因為AC1?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，

所以MN∥平面AA1C1C.

(2)因為AC＝AA1，所以四邊形AA1C1C是正方形，

所以AC1⊥A1C，又AC1∥MN，所以A1C⊥MN.

又因為ABC?A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，因為BC?平面ABC，所以CC1⊥BC.

又因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，

因為CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，又AC1?平面AA1C1C，

所以BC⊥AC1，

因為MN∥AC1，所以MN⊥BC，又MN⊥A1C，

又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.