Question

已知f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R，有f（-a）+f（a）=0恒成立，若f（-3）=2
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式：f(

m-x

x

)+f(m)＜0，其中m∈R且m＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=0；再與條件相結(jié)合即可判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（Ⅱ）先利用奇函數(shù)的定義把：f(

m-x

x

)+f(m)＜0轉(zhuǎn)化為得f(

m-x

x

)＜-f(m)=f(-m)；再于（Ⅰ）的結(jié)論相結(jié)合得到

m-x

x

＞-m，最后分類討論求出x的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）為R上的減函數(shù)．
理由如下：∵f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
又因f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
由f（-3）=2，f（0）＜f（-3），所以f（x）為R上的減函數(shù)．
（Ⅱ）由f(

m-x

x

)+f(m)＜0，得f(

m-x

x

)＜-f(m)=f(-m)，
結(jié)合（I）得

m-x

x

＞-m，整理得

(1-m)x-m

x

＜0
當(dāng)m＞1時(shí)，{x | x＞0， 或x＜

m

1-m

}；
當(dāng)m=1時(shí)，{x|x＞0}；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，{x | 0＜x＜

m

1-m

}；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，是對(duì)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于中檔題目．