Question

甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局，
(Ⅰ)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；
(Ⅱ)求甲獲得這次比賽勝利的概率。

Answer 1

解：記“第i局甲獲勝”為事件A_i（i=3，4，5），“第j局乙獲勝”為事件B_j（j=3，4，5），
(Ⅰ)記“再賽2局結(jié)束比賽”為事件A，
則A=A₃·A₄+B₃·B₄，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，
故P(A)=P(A₃·A₄+B₃·B₄)=P(A₃·A₄)+P(B₃·B₄)=P(A₃)P(A₄)+P(B₃)P(B₄)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52。
(Ⅱ)記“甲獲得這次比賽的勝利”為事件B，
因前兩局中，甲、乙各勝一局，
故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，
從而B=A₃·A₄+B₃·A₄·A₅+A₃·B₄·A₅，
由于各局比賽結(jié)果相互獨立，
故P(B)=P(A₃·A₄)+P(B₃·A₄·A₅)+P(A₃·B₄·A₅)
=P(A₃)P(A₄)+P(B₃)P(A₄)P(A₅)+P(A₃)P(B₄)P(A₅)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．