Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域，并證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調性，并用函數(shù)單調性定義給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式的特性只需接不等式即可．而要證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)需先說明定義域關于原點對稱再說明f（-x）=f（x）．
（2）可先利用函數(shù)單調性的定義給出證明再給出判斷．
解答：解：（1）∵f（x）=
∴
∴-1＜x＜1即定義域為（-1，1）
又∵定義域為（-1，1）關于原點對稱且f（-x）=（-x）+=-x+=-（x+）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調遞增．理由如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）
=（x₁-x₂）+（）
∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0且＜0
∴
又∵y=lg^x在（0，+∞）單調遞增
∴
∴＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-1，1）單調遞增．
點評：本題主要考查了函數(shù)定義域的求法和奇偶性單調性的判斷與證明．解題的關鍵是能根據(jù)函數(shù)的特性求出定義域再根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定方法（①看定義域為是否關于原點對稱②求出f（-x）若f（-x）=f（x）為偶函數(shù)；若f（-x）=-f（x）為奇函數(shù)））判斷函數(shù)f（x）的奇偶性而第二問可采用先根據(jù)單調性的定義給出證明再作出判斷即可．