Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它對空氣質量和能見度等有重要的影響．我國從PM2.5的含量對空氣質量評定的標準如表1所示．某市環(huán)保部門從2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖如圖所示．
（Ⅰ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記表示其中空氣質量達到一級的天數(shù)ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）以這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質量情況，則一年（按360天計算）中大約有多少天的空氣質量達到一級．

我國空氣質量表
PM2.5均值范圍 （微克/立方米）	空氣質量級別
（1，35]	Ⅰ
（35，75]	Ⅱ
大于75	超標

Answer 1

分析：（I）依據(jù)條件，設“達到I級”為事件A，這15天中的有5天達到I級，因此P（A）=

5

15

=

1

3

，ξ的可能值為0，1，2，3．利用“超幾何分布”即可得出分布列，再利用數(shù)學期望計算公式即可得出；
（II）利用（I）可得一年中每天空氣質量達到一級的概率P=

1

3

，進而得到一年中達到I級的天數(shù)．

解答：解：（I）依據(jù)條件，設“達到I級”為事件A，這15天中的有5天達到I級，因此P（A）=

5

15

=

1

3

，ξ的可能值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 10

C 3 15

=

24

91

；當ξ=1時，P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

；
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

；
P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

．
所以其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	24 91	45 91	20 91	2 91

數(shù)學期望為：Eξ=1×

45

91

+2×

20

91

+3×

2

91

=1．
（Ⅱ）依（I）可知，一年中每天空氣質量達到一級的概率P=

1

3

，
一年中空氣質量達到一級的天數(shù)為360×

1

3

=120，
所以一年中平均有120天的空氣質量達到一級．

點評：本題考查了“超幾何分布”的分布列及其數(shù)學期望、用概率估計一件事情等基礎知識與基本技能，屬于基礎題．