Question

設(shè)函數(shù)f( x)=2^x-1-2^-x-1，xÎR，若當(dāng)0£q£．f(cos²q+2msinq)+f(-2m-2)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

易知f(x)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，于是當(dāng)0£q£時(shí)，f(cos2q+2mcosq)+f(-2m-2)<0恒在立，即cos2q+2msinq<2m+2恒成立． 令sinq=t，本題轉(zhuǎn)化為當(dāng)tÎ[0，1]時(shí)，求使不等式t2-2mt+2m+1>0（*）恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍． 方法一：設(shè)g(t )=t2-2mt+2m+1，其圖像對(duì)稱軸為t=m，可歸結(jié)為二次函數(shù)條件最值的討論，當(dāng)m<0，0£m£1，m>1時(shí)，分別求出[g(t )]min，并分別令[g(t )]min>0， 綜合可得所求m范圍是m>． 方法二：（*）式即2(1-t)m>-(t2+1)，當(dāng)tÎ[0，1]恒成立． （1）當(dāng)t=1時(shí)，mÎR； （2）當(dāng)0£t<1時(shí)，2m>h(t )=2-[(1-t)+]．令1-t=u，則0<u£1．由函數(shù)j(u )=u+在(0，1]遞減知，當(dāng)u=1即t=0時(shí)，[j(u )]min=3，[h(t )]max=-1，得m>．綜合（1）、（2）知，當(dāng)m>時(shí)式（*）恒成立．   方法三：化歸為方程根的分布問(wèn)題，若注意g(1)=2>0到，則可歸結(jié)為求使方程g(t)=0在tÎ[0，1]內(nèi)無(wú)解的m的范圍． 結(jié)合圖形知，等價(jià)于D<0或，亦可得m>為所求．