Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-m|
（Ⅰ）當m=2時，求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）當m＞1時，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且關(guān)于x的不等式f（x）＜a有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）討論x的范圍，去絕對值符號解不等式；
（II）判斷f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性列方程組解出m．

解答 解：（Ⅰ）當m=2時，由不等式f（x）＞4得|x-1|+|x-2|＞4，
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤1\\ 3-2x＞4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}1＜x＜2\\ 1＞4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ 2x-3＞4\end{array}\right.$，
解得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{7}{2}$，
∴原不等式的解集為$（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪（{\frac{7}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ）當m＞1時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x+m+1，x＜1\\ m-1，1≤x≤m\\ 2x-m-1，x＞m\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，m）上為常數(shù)函數(shù)，在（m，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=4}\\{f（4）=4}\\{4≥m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+1=4}\\{7-m=4}\\{m≤4}\end{array}\right.$，解得m=3．

點評 本題考查了含絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，屬于中檔題．