Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{\sqrt{x}}$+b，?a∈[$\frac{1}{3}$，3]總存在x₀∈[$\frac{1}{4}$，1]，使f（x₀）＞3，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（$\frac{7}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵當(dāng)a∈[$\frac{1}{3}$，3]，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上為減函數(shù)，
∴若f（x₀）＞3，
則f（x₀）=$\frac{a}{\sqrt{{x}_{0}}}$+b＞3成立，
即b＞3-$\frac{a}{\sqrt{{x}_{0}}}$成立即可，
設(shè)y=3-$\frac{a}{\sqrt{{x}_{0}}}$，則函數(shù)為增函數(shù)，
則當(dāng)a=$\frac{1}{3}$，x₀=$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為y=3-$\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$=3-$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，
即b＞$\frac{7}{3}$即可，
故答案為：（$\frac{7}{3}$，+∞）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．