Question

設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)b＞0時，判斷函數(shù)f_n（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（Ⅲ）設(shè)n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，驗證f_n′（x）＞0，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）將n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（，1）上恒成立，進(jìn)而判斷出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，分析區(qū)間兩端點的函數(shù)值符號關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)零點存在定理，可得答案；
（Ⅲ）將n=2，根據(jù)|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，分類討論不同情況下b的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得b的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函數(shù)f_n（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增；
（Ⅱ）證明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在單調(diào)遞增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（）=＜0，
∴f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（Ⅲ）解：當(dāng)n=2時，f₂（x）=x²+bx+c
①當(dāng)b≥2或b≤-2時，即-≤-1或-≥1，此時只需滿足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②當(dāng)0≤b＜2時，即-1＜-≤0，此時只需滿足f₂（1）-f₂（-）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③當(dāng)-2＜b＜0時，即0＜-＜1，此時只需滿足f₂（-1）-f₂（-）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
綜上所述：b∈[-2，2]．
點評：本題考查零點存在定理，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，待定系數(shù)法求范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．