Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝2，E是PB的中點，F(xiàn)是AD的中點．

   （Ⅰ）求證：EF⊥平面PBC；

   （Ⅱ）求二面角F－PC－B的平面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析    （Ⅱ）

【解析】(I)根據(jù)線面垂直的判定定理，只須證明,從而證明出平面,然后證明出ＧＤ／／ＥＦ，問題到此基本得以解決.

(II)關鍵是作出二面角的平面角，連結，易證：,,所以是二面角的平面角,然后解三角形求角即可

（Ⅰ）取的中點，連結，則//，且,

又∵//，且,∴//且,∴四邊形為平行四邊形,∴//.……………………… 3分

由于平面,∴,又,∴平面,又平面,∴,在等腰直角三角形中，由為中點，∴,

，∴平面, ……………………………………………… 5分

∵//,∴平面. ………………………………………………… 6分

（Ⅱ）連結，∵,//,∴， ∵平面,∴,,∴平面，, ∴是二面角的平面角.…………… 9分

在中，,，

，所以二面角的平面角的余弦值為