Question

16．若雙曲線的一條漸近線為x+2y=0，且雙曲線與拋物線y=x²的準(zhǔn)線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準(zhǔn)線方程，得到雙曲線的實(shí)半軸的長(zhǎng)，利用雙曲線的漸近線方程，求解即可．

解答 解：拋物線y=x²的準(zhǔn)線：y=-$\frac{1}{4}$，
雙曲線與拋物線y=x²的準(zhǔn)線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可得雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a=$\frac{1}{4}$，焦點(diǎn)在y軸上．
雙曲線的一條漸近線為x+2y=0，∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得b=$\frac{1}{2}$，
則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．