Question

（2012•河南模擬）設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₂X₁+log₂₀₁₂X₂+…+log₂₀₁₂X₂₀₁₁的值為

-1

．

Answer 1

分析：由題意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進(jìn)而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=

n

n+1

，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₁=

1

2

•

2

3

•

3

4

…

2011

2012

，代入可求出答案．

解答：解：由題意可得P（1，1）
對函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹求導(dǎo)可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率K=f′（1）=n+1，切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

∴x₁x₂…x₂₀₁₁=

1

2

•

2

3

•

3

4

…

2011

2012

=

1

2012

∴l(xiāng)og₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁=log₂₀₁₂（x₁x₂…x_n）
=log₂₀₁₂

1

2012

=-1
故答案為：-1

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，累乘及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了基本運(yùn)算的能力．