Question

已知：三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)增，在（-1，2）上單調(diào)減，當(dāng)且僅當(dāng)x＞4時，
f（x）＞x²-4x+5．
（1）求函數(shù)f （x）的解析式；
（2）若函數(shù)，求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上單增，（-1，2）上單減
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2
∴…2
令g′（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2）單調(diào)增，單調(diào)減
故
故．…5
（2）∵f′（x）=3x²-3x-6
h（x）的定義域：…6∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且x≠2）…7
∴…9
①m＞-1時，-m＜1．x∈（-m，1）2時，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4時，h'（x）＞05
∴h（x）在（-m，1）單減；在（1，2），（2，+∞）上單增；
②-2＜m≤-1時，h'（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上單增
③當(dāng)m≤-2時，此時h（x）的定義域為：（-m，+∞），h（x）在（-m，+∞）上單增
綜上：當(dāng)m≤-2時，h（x）在（-m，+∞）上單增；
當(dāng)-2＜m≤-1時，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上單增；
當(dāng)m＞-1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）單減．…12
分析：（1）由已知中三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)增，在（-1，2）上單調(diào)減，可得f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2，由韋達定理可以求出a，b的值，進而得到函數(shù)f （x）的解析式；
（2）由（1）中結(jié)論可得函數(shù)的解析式，進而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)解析式，分類討論后綜合討論結(jié)果可得答案．
點評：本題考查的知識是函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中（1）的關(guān)鍵是分析出f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2，（2）的關(guān)鍵是對m值進行分類討論．