如圖,設有雙曲線
,F
1,F
2是其兩個焦點,點M在雙曲線上.
(1)若∠F
1MF
2=90°,求△F
1MF
2的面積;
(2)若∠F
1MF
2=60°,△F
1MF
2的面積是多少?若∠F
1MF
2=120°,△F
1MF
2的面積又是多少?
(3)觀察以上計算結果,你能看出隨∠F
1MF
2的變化,△F
1MF
2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論.
(1)
; (2)
,
; (3) θ增大時面積變小,證明過程見解析.
試題分析:(1) 設
,
, 直角三角形△F
1MF
2中
,利用雙曲線定義得
,平方得
,求得面積;(2) △F
1MF
2 中由余弦定理可得,|MF
1|·|MF
2|,由面積公式
可得面積;(3) 由雙曲線定義與余弦定理,可得面積與θ的關系
,所以θ增大時面積變小.
解:(1)由雙曲線方程知a=2,b=3,
,
設
,
(
).
由雙曲線定義,有
,兩邊平方得,
,
即
,
也即
,求得
. 4分
(2)若∠F
1MF
2=60°,在△MF
1F
2中,
由余弦定理得
,
,所以
.
求得
.
同理可求得若∠F
1MF
2=120°,
. 8分
(3)由以上結果猜想,隨著∠F
1MF
2的增大,△F
1MF
2的面積將減。
證明如下:
令∠F
1MF
2=θ,則
.
由雙曲線定義及余弦定理,有
②-①得
,
所以
,
因為0<θ<π,
,
在
內,
是增函數(shù),
因此當θ增大時,
將減。 12分
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
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已知雙曲線
的左,右焦點分別為
,點P在雙曲線的右支上,且
,則此雙曲線的離心率e的最大值為
.
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來源:不詳
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設圓C與兩圓(x+
)
2+y
2=4,(x-
)
2+y
2=4中的一個內切,另一個外切.
(1)求C的圓心軌跡L的方程;
(2)已知點M(
,
),F(xiàn)(
,0),且P為L上動點,求||MP|-|FP||的最大值及此時點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學
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設直線
與雙曲線
(
)兩條漸近線分別交于點
,若點
滿足
,則該雙曲線的離心率是__________
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[2014·北京模擬]△ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是________.
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的右焦點與拋物線
的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于( ).
A. | B.4 | C.3 | D.5 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設雙曲線
的離心率為
,且直線
(c是雙曲線的半焦距)與拋物線
的準線重合,則此雙曲線的方程為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
雙曲線
的離心率等于____________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知A
1,A
2雙曲線
的頂點,B為雙曲線C的虛軸一個端點.若△A
1BA
2是等邊三角形,則雙曲線
的離心率e等于
.
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