如圖,設有雙曲線,F1,F2是其兩個焦點,點M在雙曲線上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積;
(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面積又是多少?
(3)觀察以上計算結果,你能看出隨∠F1MF2的變化,△F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論.
(1) ;  (2) , ; (3) θ增大時面積變小,證明過程見解析.

試題分析:(1) 設,, 直角三角形△F1MF2,利用雙曲線定義得,平方得,求得面積;(2) △F1MF2 中由余弦定理可得,|MF1|·|MF2|,由面積公式可得面積;(3) 由雙曲線定義與余弦定理,可得面積與θ的關系,所以θ增大時面積變小.
解:(1)由雙曲線方程知a=2,b=3,,
, ().
由雙曲線定義,有,兩邊平方得,
,
,
也即,求得.             4分
(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,
由余弦定理得,
,所以
求得
同理可求得若∠F1MF2=120°, .         8分
(3)由以上結果猜想,隨著∠F1MF2的增大,△F1MF2的面積將減。
證明如下:
令∠F1MF2=θ,則
由雙曲線定義及余弦定理,有

②-①得,
所以,
因為0<θ<π,,
內,是增函數(shù),
因此當θ增大時,  將減。                 12分
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