Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體A₁C中，M、N分別是棱A₁B₁、BB₁的中點(diǎn)，那么AM和CN所成角的余弦值為（　�。�

• A．

  2

  5

• B．

  3

  5

• C．

  3

  2

• D．

  10

  10

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量

AM

，

CN

的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論．

解答：解：以D為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為Y軸，DD₁為Z軸；建立空間直角坐標(biāo)系：
則A（1，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C（0，1，0）；
∴M（1，

1

2

，1），N（1，1，

1

2

）；
∴

AM

=（0，

1

2

，1），

CN

=（1，0，

1

2

）．
∴cos＜

AM

，

CN

＞=

0×1+ 1 2 ×0+ 1 2 ×1

02+( 1 2 )2+12 • 12+02+( 1 2 )2

=

1 2

5 4

=

2

5

．
故AM和CN所成角的余弦值為

2

5

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用空間向量求兩異面直線間的夾角．利用空間向量求兩異面直線間的夾角的關(guān)鍵在于求出兩異面直線所在向量的坐標(biāo)．