Question

已知f(x)=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀處取得最大值，以下各式中正確的序號(hào)為（　　）
①f（x₀）＜x₀；②f（x₀）=x₀；③f（x₀）＞x₀；④f(x0)＜

1

2

；⑤f(x0)＞

1

2

．

A．①④

B．②④

C．②⑤

D．③⑤

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

令g（x）=x+1+lnx，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即x₀，代入驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

令g（x）=x+1+lnx，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即x₀，
∴-x₀-1=lnx₀
∴f（x₀）=(-x0-1)•

1-1-x0

1+x0

=x₀，即②正確
f(x0)-

1

2

=

-2x0lnx0-(1+x0)

2(1+x0)

∵-x₀-1=lnx₀，
∴f(x0)-

1

2

=

(1-2x0)lnx0

2(1+x0)

x=

1

2

時(shí)，f′（

1

2

）=-

3 2 +ln 1 2

9 4

＜0=f′（x₀）
∴x₀在x=

1

2

左側(cè)
∴x₀＜

1

2

∴1-2x₀＞0
∴

(1-2x0)lnx0

2(1+x0)

＜0
∴f(x0)＜

1

2

∴④正確
綜上知，②④正確
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．