Question

4．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，則不等式f（x）＞$\frac{4}{{e}^{x}}$+2（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求得函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式轉(zhuǎn)化成F（x）＞F（1），利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式的解集．

解答 解：設(shè)F（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），
求導(dǎo)F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）-2＞0，
∴F′（x）＞0，
∴y=F（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵e^xf（x）＞2e^x+4，即F（x）＞4，
又∵F（1）=ef（1）-2e=4，
∴F（x）＞F（1），
∴x＞1，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．