Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，將f（x）的圖象向右平移一個單位后，得到一個奇函數(shù)的圖象，且 f（2）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ）
A．0
B．2
C．-2
D．-4022

Answer 1

【答案】分析：由于f（x）是R上的偶函數(shù)，所以該函數(shù)有對稱軸x=0，函數(shù)f（x）在右移之前有對稱中心（-1，0），故函數(shù)f（x）存在周期T=4，在利用題中的條件得到函數(shù)在一個周期內(nèi)的數(shù)值，利用周期性即可求解．
解答：解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱，即該函數(shù)有對稱軸x=0，
又∵將f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象，
由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，此點是由函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心右移一個單位得到
∴函數(shù)f（x）的圖象有對稱中心（-1，0），即f（-1）=0，
因為f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x+1）=-f（x-1），即f（x+1）=f（x-3），
∴函數(shù)f（x）存在周期T=4，又f（2）=-2，f（-1）=0，
利用條件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-2，f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=2，所以在一個周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=f（0）=0．
故選A．
點評：此題考查了利用函數(shù)的對稱性及奇偶性找到函數(shù)的周期，在利用已知的條件求出函數(shù)值．