Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9即可求得a₂，a₃，a₄的值，從而可猜想{a_n}的通項公式；
（2）由（1）猜得a_n=

6n-5

2n-1

，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，分三步：①當(dāng)n=1時，猜想成立；②設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，猜想成立，去證明n=k+1時猜想也成立（應(yīng)用上歸納假設(shè)），③綜上所述，即可證得猜想成立．

解答：解：（1）由4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9得a_n+1=

9-2an

4-an

=2-

1

an-4

，
∵a₁=1，
∴a₂=2-（-

1

3

）=

7

3

，
同理可求，a₃=

13

5

，a₄=

19

7

，猜想a_n=

6n-5

2n-1

             …（5分）
（2）證明：①當(dāng)n=1時，猜想成立．
②設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，猜想成立，即a_k=

6k-5

2k-1

，
則當(dāng)n=k+1時，有a_k+1=2-

1

ak-4

=2-

1

6k-5 2k-1 -4

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立．
綜合①②，猜想對任何n∈N^*都成立．                      …（10分）

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，通過計算猜得a_n=

6n-5

2n-1

是關(guān)鍵，考查推理、運算、猜想與證明的能力，屬于中檔題．