Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-x）-cosx（x∈R）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大、小值；
（3）若f（α）=

2

α∈（

π

2

，π），求sinα+cosα的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先化簡f（x）得到f（x）=

2

sin（x-

π

4

），令x=0，求出（1）f（0）；
（2）運用周期公式，即可得到f（x）的周期；由正弦函數(shù)的最值，即可得到f（x）的最大值、最小值；
（3）由f（α）=

2

，α∈（

π

2

，π），求出α=

3π

4

，即可得到sinα+cosα的值．

解答： 解：f（x）=sin（π-x）-cosx=sinx-cosx
=

2

sin（x-

π

4

），
∴（1）f（0）=0-1=-1；
（2）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=2π，
最大值為

2

，此時x=2kπ+

3π

4

，
最小值為-

2

，此時x=2kπ+

7π

4

，k為整數(shù)．
（3）由于f（α）=

2

，α∈（

π

2

，π），
則α=2kπ+

3π

4

，k=0，α=

3π

4

，
∴sinα+cosα=sin

3π

4

+cos

3π

4

=

2

2

-

2

2

=0．

點評：本題考查兩角差的正弦公式，三角函數(shù)的周期公式和最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．