Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0，若f（x）在x=-1處取極值
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，求出a；
（2）若g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，只需直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則說明m小于極大值，大于極小值．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²-3a，因?yàn)閒（x）在x=-1處取得極值，
所以f'（-1）=0，即3-3a=0，解得a=1．
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x-1，
f'（x）=3x²-3=3（x²-1）=3（x-1）（x+1），
當(dāng)f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1．當(dāng)f'（x）＜0，得-1＜x＜1．
即函數(shù)在x=-1處取得極大值f（-1）=1，在x=1處取得極小值f（1）=-3，
如圖示：
，
若g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，
只需直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則m小于極大值，大于極小值，
即-3＜m＜1，所以m的取值范圍是（-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的交點(diǎn)問題．要注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決．