Question

對于數(shù)列{a_n}，若定義一種新運算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），則稱{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分數(shù)列；類似地，對正整數(shù)k，定義：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），則稱{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分數(shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=5n²+3n（n∈N⁺），則{△a_n}，{△²a_n}是什么數(shù)列？
（2）若數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求{a_n}的通項公式及

lim

n→∞

Sn+n-2

n•3n

的值．

Answer 1

分析：（1）利用：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），∵△²a_n=△a_n+1-△a_n=a_n+2-a_n+1-（a_n+1-a_n）=，即可求得數(shù)列通項，從而可得結論；
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，可得△a_n-a_n=2ⁿ，即可得a_n+1-2a_n=2ⁿ，，構造可得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，結合等差數(shù)列的通項可求

an

2n

，進而可求{a_n}的通項公式，從而可求數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，進而可求極限．

解答：解：（1）∵△a_n=a_n+1-a_n，a_n=5n²+3n
∴△a_n=5（n+1）²+3（n+1）-（5n²+3n）=10n+8
∴{△a_n}是以18 為首項，10為公差的等差數(shù)列
∵△²a_n=△a_n+1-△a_n=a_n+2-a_n+1-（a_n+1-a_n）=20n+26
∴{△²a_n}是以46為首項，20為公差的等差數(shù)列
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

∴數(shù)列{{

an

2n

}}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n•2^n-1．
設Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
則2Sn=2+2×22+…+n×2n②
①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
∴-Sn=2n-1 -n×2n
∴Sn=-2n+1 +n×2n
∴

lim

n→∞

Sn+n-2

n•3n

=

lim

n→∞

-2n+1 +n×2n+n-2

n•3n

=

lim

n→∞

-2n+n×2n+n-1

n•3n

=0

點評：本題主要考查了由新定義構造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列的和，考查極限的求法，綜合性較強，有一定難度．