Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）是奇函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的值域.

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)（）是奇函數(shù)，所以可由化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015013106033469705419/SYS201501310603397128978787_DA/SYS201501310603397128978787_DA.008.png">在定義域中，函數(shù)是奇函數(shù)，所以也可用求得，再得；（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015013106033469705419/SYS201501310603397128978787_DA/SYS201501310603397128978787_DA.011.png">，所以是關(guān)于的方程，分和兩種情況討論；當(dāng)時(shí)求出，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015013106033469705419/SYS201501310603397128978787_DA/SYS201501310603397128978787_DA.017.png">在定義域中，所以在值域中；當(dāng)時(shí)再用判別式法求的范圍；將上述兩種情況合并得值域．判別式法求值域適用于可化為一元二次方程的類型，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，要討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為；若原函數(shù)的定義域不是,要對(duì)使判別式為的進(jìn)行檢驗(yàn)，有時(shí)必需用一元二次方程根的分布求解．

試題解析：∵是奇函數(shù)，∴， 2分

∴，即 ，∴； 4分

∴． 6分

（2）由（1）知，∴， 7分

∴當(dāng)時(shí)，，∴； 8分

當(dāng)時(shí)，，解得且； 10分

綜上可知，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015013106033469705419/SYS201501310603397128978787_DA/SYS201501310603397128978787_DA.002.png">． 12分

考點(diǎn)：①利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)；②利用判別式法求值域．