Question

如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側(cè)面底面，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小；
（2）已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）（2）存在點(diǎn)，使.

試題分析：（1）首先根據(jù)幾何體的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用“側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角”，借助向量夾角公式進(jìn)行計(jì)算；（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足，設(shè)出其坐標(biāo)，然后根據(jù)建立等量關(guān)系，確定P點(diǎn)坐標(biāo)即可.
試題解析：（1)∵側(cè)面底面，作于點(diǎn)，∴平面．
又，且各棱長都相等，∴，，．                                              2分

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，
∴，，
．  4分
設(shè)平面的法向量為，
則   
解得．由．
而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，
∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為                 6分
（2）∵，而 
∴
又∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，∴．
∵，為平面的法向量，
∴由，得．             10分
又平面，故存在點(diǎn)，
使，其坐標(biāo)為，
即恰好為點(diǎn)．                  12分