Question

已知橢圓的中心在原點，焦點為F₁（0，-_），F(xiàn)₂（0，），且離心率．
（I） 求橢圓的方程；
（II）直線l（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點A、B，且線段AB中點的橫坐標(biāo)為，求直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

解：（I）設(shè)橢圓方程為，
由題意得c=2，e=，所以a=3，
b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），
由得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
則△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即k²-m²+9＞0①，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
因為線段AB中點的橫坐標(biāo)為，所以2×（-）=-，
化簡得k²+9=2km，所以m=②，
把②代入①整理得k⁴+6k²-27＞0，解得k＜-或k＞，
所以直線l傾斜角的取值范圍為k＜-或k＞．
分析：（I）設(shè)橢圓方程為，由焦點可得c，由離心率可得a，再由b²=a²-c²可得b；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，則△＞0①，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點坐標(biāo)公式可得2×=x₁+x₂，代入韋達(dá)定理可得m，k的方程②，代入①消掉m即可；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，（Ⅱ）中由直線交橢圓于不同兩點得不等式△＞0，由中點橫坐標(biāo)得一方程，兩者聯(lián)立即可求得范圍，稱為“方程不等式法”，解題中注意應(yīng)用．