Question

已知函數(shù)y＝f（x）的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線. 當(dāng)n≤y≤n＋1（n＝0，1，2，…)時(shí)，該圖象是斜率為bⁿ的線段(其中正常數(shù)b≠1），設(shè)數(shù)列｛x_n｝由f（x_n）＝n（n＝1，2，…）定義

 

(Ⅰ)求x₁、x₂和x_n的表達(dá)式；

 

(Ⅱ)計(jì)算x_n；

 

(Ⅲ)求f（x）的表達(dá)式，并寫出其定義域.

Answer 1

(Ⅰ)解：依題意f（0）＝0，又由f（x₁）＝1，當(dāng)0≤y≤1時(shí)，

函數(shù)y＝f（x）的圖象是斜率為b⁰＝1的線段，故由＝1得x₁＝1．

 

又由f（x₂）＝2，當(dāng)1≤y≤2時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的圖象是斜率為b的線段，

 

故由＝b，即x₂－x₁＝       得x₂＝1＋．

 

記x₀＝0．由函數(shù)y＝f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n－1，故得＝b^n－1．

 

又f（x_n）＝n，f（x^n－1）＝n－1；

∴x_n－x_n－1＝()^n－1，n＝1，2，…．

由此知數(shù)列｛x_n－x_n－1｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為．

 

因b≠1，得x_n＝＝1＋＋…＋＝，即x_n＝

 

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知x_n＝當(dāng)b＞1時(shí)，=

 

當(dāng)0＜b＜1時(shí)，n→∞，x_n也趨向于無窮大，limx_n不存在

 

(Ⅲ)解：由（Ⅰ）知：當(dāng)0≤y≤1時(shí)，y＝x，即當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝x；

 

當(dāng)n≤y≤n＋1即x_n≤x_n＋1，由(Ⅰ)可知，

f（x）＝n＋b_n（x－x_n）(n＝1，2，3，…）

由(Ⅱ)知：當(dāng)b＞1時(shí)，y＝f（x）的定義域?yàn)椋?，).

當(dāng)0＜b＜1時(shí)，y＝f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞）．

圖1-30