Question

已知函數(shù)（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2bx+4．當(dāng)時，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)b取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出g（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù)．
解答：解：（Ⅰ），
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
（1）當(dāng)a=0時，h（x）=-x+1（x＞0），
當(dāng)x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a≠0時，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得．
當(dāng)時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，x∈（0，1）時h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
時，h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)a＜0時，當(dāng)x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．

（Ⅱ）當(dāng)時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意x₁∈（0，2），
有，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以，x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
當(dāng)b＜1時，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0與（※）矛盾；
當(dāng)b∈[1，2]時，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也與（※）矛盾；
當(dāng)b＞2時，．
綜上，實數(shù)b的取值范圍是．
點評：本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．