Question

由曲線y=x²和直線x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所圍成的圖形的面積的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由圖形將陰影部分的面積用定積分表示出來，再利用定積分的運算規(guī)則將面積表示為t的函數(shù)，進行判斷得出面積的最小值

解答：解：由題意及圖象，曲線y=x²和直線y=t²交點坐標是（t，t²）
故陰影部分的面積是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t¹（-t²+x²）d_x=（t²x-

1

3

x³）|₀^t+（-t²x+

1

3

x³）|_t¹=

4

3

t3-t2+

1

3

令p=

4

3

t3-t2+

1

3

，則p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=

4

3

t3-t2+

1

3

在（0，1）先減后增，在t=

1

2

時取到最小值，
故面積的最小值是

4

3

×(

1

2

)3-(

1

2

)2+

1

3

=

1

4

故答案為：

1

4

．

點評：本題考查求定積分，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象與函數(shù)解析式將面積用積分表示出來，利用積分的定義得到關(guān)于變量t的表達式，再研究其單調(diào)性求出最值，本題運算量較大涉及到的考點較多，綜合性強，運算量大，極易因運算、變形出錯．