Question

已知曲線C₁的方程為x²+2x+y²-4y=0．
（1）如果C₁上存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線2x+my+4對(duì)稱，求m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)O（0，0），在（1）的條件下，且滿足

OP

•

OQ

=

8

5

的直線PQ的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）曲線x²+2x+y²-4y=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線2x+my+4=0對(duì)稱，說明曲線是圓，直線過圓心，易求m的值；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及

OP

•

OQ

=

8

5

． 求得k的方程，然后求直線PQ的方程．

解答： 解：（1）曲線方程為（x+1）²+（y-2）²=5表示圓心為（-1，2），半徑為

5

的圓．
∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線2x+my+4=0對(duì)稱，
∴圓心（-1，2）在直線上．代入得-2+2m+4=0，∴m=-1．
（2）∵直線PQ與直線y=2x+4垂直，
∴設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-

1

2

x+b．
將直線y=-

1

2

x+b代入圓方程，得

5

4

x²+（4-b）x+b²-4b=0．
△=（4-b）²-4×

5

4

×（b²-4b）＞0，得-1＜b＜4．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-

4

5

（4-b），x₁•x₂=

4

5

（b²-4b）．
y₁•y₂=b²-

1

2

b（x₁+x₂）+

1

4

x₁•x₂=

4b2

5

+

4b

5

．
∵

OP

•

OQ

=

8

5

，∴x₁x₂+y₁y₂=

8

5

，
即-

4

5

（4-b）+

4b2

5

+

4b

5

=

8

5

．
即b²+2b-6=0．
解得b=-1+

7

∈（-1，4）．
∴所求的直線方程為y=-

1

2

x+

7

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題．