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已知曲線C1的方程為x2+2x+y2-4y=0.
(1)如果C1上存在P,Q兩點關于直線2x+my+4對稱,求m的值;
(2)設點O(0,0),在(1)的條件下,且滿足
OP
OQ
=
8
5
的直線PQ的方程.
考點:向量在幾何中的應用
專題:平面向量及應用
分析:(1)曲線x2+2x+y2-4y=0上有兩點P、Q,滿足關于直線2x+my+4=0對稱,說明曲線是圓,直線過圓心,易求m的值;
(2)設P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程為y=-x+b.聯立方程組,結合韋達定理,以及
OP
OQ
=
8
5
. 求得k的方程,然后求直線PQ的方程.
解答: 解:(1)曲線方程為(x+1)2+(y-2)2=5表示圓心為(-1,2),半徑為
5
的圓.
∵點P、Q在圓上且關于直線2x+my+4=0對稱,
∴圓心(-1,2)在直線上.代入得-2+2m+4=0,∴m=-1.
(2)∵直線PQ與直線y=2x+4垂直,
∴設P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程為y=-
1
2
x+b.
將直線y=-
1
2
x+b代入圓方程,得
5
4
x2+(4-b)x+b2-4b=0.
△=(4-b)2-4×
5
4
×(b2-4b)>0,得-1<b<4.
由韋達定理得x1+x2=-
4
5
(4-b),x1•x2=
4
5
(b2-4b).
y1•y2=b2-
1
2
b(x1+x2)+
1
4
x1•x2=
4b2
5
+
4b
5

OP
OQ
=
8
5
,∴x1x2+y1y2=
8
5
,
即-
4
5
(4-b)+
4b2
5
+
4b
5
=
8
5

即b2+2b-6=0.
解得b=-1+
7
∈(-1,4).
∴所求的直線方程為y=-
1
2
x+
7
-1.
點評:本題考查直線與圓的方程的應用,直線的一般式方程,考查函數與方程的思想,是中檔題.
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L
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1
2
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π
4
);
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π
3
).

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