解答:解:(1)由f(x)=
x
3,可得f′(x)=x
2.…(1分)
∴f′(3)=9
∴曲線(xiàn)y=f(x)在x=3處的切線(xiàn)方程為y-9=9(x-3),
即y=9x-18. …(2分)
又該切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=g(x)相切
∴-x
2+ax-a
2=9x-18有兩個(gè)相等實(shí)根,…(3分)
即x
2+(9-a)x+a
2-18=0有兩個(gè)相等實(shí)根
∴△=(9-a)
2-4(a
2-18)=0 …(4分)
即a
2+6a-51=0
解得a=-3±
2 …(5分)
(2)h(x)=f(x)+g(x)=
x3-x2+ax-a2,
∴h′(x)=x
2-2x+a,
∴△=4-4a=4(1-a).…(6分)
h(0)=-a
2,h(3)=a(3-a)
①當(dāng)1≤a<3時(shí),△≤0,∴h′(x)≥0在R上恒成立,
∴h(x)在(0,3)上單調(diào)遞增.…(7分)
此時(shí)h(0)<0,h(3)>0,則h(x)在(0,3)僅有一個(gè)零點(diǎn); …(8分)
②當(dāng)a<1時(shí),△>0
由h′(x)=0得
x1=1-,
x2=1+i)當(dāng)-1<a≤0時(shí),x
1≤0,2≤x
2<3
則當(dāng)x∈(0,x
2)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x
2,3)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增; …(9分)
又h(0)≤0,h(3)≤0,故h(x)在(0,3)沒(méi)有零點(diǎn); …(10分)
ii)當(dāng)0<a<1時(shí),0<x
1<1,1<x
2<2,則h(x)在(0,x
1)單調(diào)遞增,在(x
1,x
2)單調(diào)遞減,在(x
2,3)單調(diào)遞增 …(11分)
∵0<a<1,∴
<1,∴1-a<
,
從而1-
<a,即x
1<a,故0<x
1<a<1.
而
h(x1)=x12(x1-3)+a(x1-a)∴h(x
1)<0 …(13分)
綜上,當(dāng)-1≤a≤0時(shí),h(x)在(0,3)沒(méi)有零點(diǎn);
當(dāng)0<a<3時(shí),h(x)在(0,3)僅有一個(gè)零點(diǎn). …(14分)