Question

四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=

6

，
E為PC的中點．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連AC、BD交于點O，連OE，過點O作OF⊥AD于點F，連EF，可得∠EFO就是所求二面角的平面角，解三角形EFO，即可得到二面角E-AD-C的正切值；
（2）過點B作BM⊥PC于點M，連DM，可得△PBC≌△PDC，進而得到DM⊥PC，BM⊥PC，由線面垂直的判定定理，即可得到PC⊥平面MBD．

解答：解：（1）連AC、BD交于點O，連OE，則OE∥PA，從而OE⊥平面ABCD，
過點O作OF⊥AD于點F，連EF，則易證∠EFO就是所求二面角的平面角．
由ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=1，得OF=

3

4

，
又OE=

1

2

PA=

6

2

，
∴在Rt△OEF中，有tan∠EFO=

OE

OF

=2

2

．（5分）
（2）證明：過點B作BM⊥PC于點M，連DM，
則∵△PBC≌△PDC，∴DM⊥PC，
∴PC⊥平面MBD，在△PBC中，PB=

7

，BC=1，PC=3，
∴  cos∠PCB=

1+9-7

2•1•3

=

1

2

∴  MC=BCcos∠PCB=

1

2

，
∴在PC上存在點M，且MC=

1

2

時，有PC⊥平面MBD．（10分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是求出二面角的平面角，（2）的關(guān)鍵是證明DM⊥PC，BM⊥PC．