Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，總有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式：f(x+1)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1對(duì)所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常數(shù)），試用常數(shù)p表示實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，然后利用增函數(shù)的定義進(jìn)行證明．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)可列出方程組，解這個(gè)方程組就到不等式f(x+1)＜f(

1

x-1

)的解．
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知f（x）最大值為f（1）=1，所以要使f（x）≤m²-2pm+1對(duì)所有的x∈[-1，1]恒成立，只需m（m-2p）≥0成立．根據(jù)p的不同取值進(jìn)行分類討論，能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
證明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
于是有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
而x₁-x₂＜0，故f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

?

-2≤x≤0 x≥2，或x≤0 x＜- 2 ，或1＜x＜ 2

?-2≤x＜-

2

，
故不等式的解集為{x|-2≤x＜-

2

}；（8分）
（3）由（1）知f（x）最大值為f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2pm+1對(duì)所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①當(dāng)p∈[-1，0）時(shí)，m的取值范圍為（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②當(dāng)p∈（0，1]時(shí)，m的取值范圍為（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③當(dāng)p=0時(shí)，m的取值范圍為R．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．