Question

設(shè)（3x

1

3

+x

1

2

）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h，若t+h=272，則展開(kāi)式的x²項(xiàng)的系數(shù)是（　�。�

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．3

Answer 1

分析：確定展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和，利用t+h=272，可得出n=4，再利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求得展開(kāi)式的x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意，展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h
∴t=4ⁿ，h=2ⁿ
∵t+h=272，
∴4ⁿ+2ⁿ=272
∴（2ⁿ-16）（2ⁿ+17）=0
∴2ⁿ=16
∴n=4
∴展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+1=

C

r 4

×(3x

1

3

)4-r×(x

1

2

)r=

C

r 4

×34-r×x

8+r

6

令

8+r

6

=2，則r=4，
∴展開(kāi)式的x²項(xiàng)的系數(shù)是

C

4 4

×30=1
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和，考查二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式軛運(yùn)用，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．