Question

已知函數(shù)g（x）=

1

2

mx²-2x+l+ln（x+l）（m≥1）．
（1）若曲線C：y=g（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；
（2）求證：函數(shù)g（x）存在單凋減區(qū)間[a，b]；
（3）若c=b-a，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線的方程，由切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二者的方程聯(lián)立的方程組有且只有一個(gè)解0，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出；
（2）函數(shù)g（x）存在單凋減區(qū)間[a，b]?g^′（x）＜0，再由m≥1，x＞-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明；
（3）利用（2）的結(jié)論及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)即可求出．

解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1），定義域?yàn)椋?1，+∞）．
∴g′(x)=mx-2+

1

x+1

，∴g^′（0）=-2+1=-1．
∴切線l的方程為：y-1=-x，即y=-x+1，
∵切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一個(gè)解0．
令h（x）=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，
則h^′（x）=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

，
①當(dāng)m=1時(shí)，h′(x)=

mx2

x+1

≥0，h（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，滿足有且只有一個(gè)解0．
②當(dāng)m＞1時(shí)，(

1

m

-1)∈(-1，0)，令h^′（x）=0，解得x=0或

1

m

-1．
列表如下：
由表格畫出圖象：當(dāng)x→-1時(shí)，h（x）→-∞，h(

1

m

-1)＞h(0)=0，故在區(qū)間(-1，

1

m

-1)內(nèi)還有一個(gè)交點(diǎn)，
即方程h（x）=0由兩個(gè)實(shí)數(shù)根，與已知有且僅有一個(gè)解矛盾，應(yīng)舍去．
綜上可知：只有m=1滿足題意．
（2）由g′(x)=mx-2+

1

x+1

=

mx2+(m-2)x-1

x+1

＜0（x＞-1）?mx²+（m-2）x-1＜0．
令f（x）=mx²+（m-2）x-1（x＞-1，m≥1）．
則△=（m-2）²+4m=m²+4＞0，且其對(duì)稱軸x=-

m-2

2m

=

1

m

-

1

2

＞-1，
f（-1）=1＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根a=

(2-m)- m2+4

2m

，b=

(2-m)+ m2+4

2m

．
使得函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知：a+b=

2-m

m

，ab=-

1

m

，
∴c=b-a=

(b-a)2

=

(b+a)2-4ab

=

1+ 4 m2

，
∵m≥1，∴1＜

1+ 4 m2

≤

5

．
∴c的取值范圍是(1，

5

]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及“三個(gè)二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．