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已知l1、l2是過點P(-,0)的兩條互相垂直的直線,且l1、l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點,分別為A1、B1和A2、B2
(1)求l1的斜率k1的取值范圍;
(2)若|A1B1|=|A2B2|,求l1、l2的方程.
【答案】分析:(1)顯然l1、l2斜率都存在,設l1的斜率為k1,得到l1、l2的方程,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組,消去y得到關于x的二次方程,再結合根的判別即可求得斜率k1的取值范圍;
(2)利用(1)中得到的關于x的二次方程,結合根與系數的關系,利用弦長公式列關于k的方程,解方程即可求得k值,從而求出l1、l2的方程.
解答:解:(1)顯然l1、l2斜率都存在,否則l1、l2與曲線不相交.設l1的斜率為k1,則l1的方程為y=k1(x+).
聯(lián)立得y=k1(x+),y2-x2=1,
消去y得
(k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0.①
根據題意得k12-1≠0,②
1>0,即有12k12-4>0.③
完全類似地有-1≠0,④
2>0,即有12•-4>0,⑤
從而k1∈(-,-)∪(,)且k1≠±1.
(2)由弦長公式得
|A1B1|=.⑥
完全類似地有
|A2B2|=.⑦
∵|A1B1|=|A2B2|,
∴k1,k2=.從而
l1:y=(x+),l2:y=-(x+)或l1:y=-(x+),l2:y=(x+).
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點,直線和圓錐曲線的位置是解析幾何中的一個重點內容,也是一個難點,在高考試題中占有一席之地,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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